При решении контактных задач с первоначальным контак- юм в точке или по линии используются зависимости перемеще­ний W_x , W_Y , W₇ от сосредоточенной силы F, действующей на упругом полупространстве (на плоскости, ограничивающей по- чу бесконечное тело, рис. ].]). Эта задача решена Я. Буссинеском

и I 885 г.

F

г

И произвольной точке, удаленной на расстояние / от места шимч/кепия силы F, в элементарном объеме возникают нормаль- И1.И- напряжения σ_ζ, σ _ν, σ^- (ось Υ—перпендикулярна черте- щ касательные τ_γγ , Χχχ, ^τγχ, а также упругие перемещения

этой точки W_z , IVy , И'у , Для точек, расположенных на поверх­ности, перемещения по оси Ζ определяют

W = W(Z = Q) = — (1.1)

кЕг

где Ε, ν — модуль упругости Юнга и коэффициент поперечного сжатия Пуассона соответственно, г — расстояние от оси ΟΖ до рассматриваемой точки,

Из уравнения (1.1) следует, что произведение Wr на гра­ничной плоскости остается постоянным при определенной силе и постоянных Ε и ν в пределах упругости (например, для стали

Е-2,i ■ ΙΟ³ МПа , ν = 0,3). Следовательно, ff в зависимости от г изменяется в любой плоскости, проходящей через ось OZ, по закону гиперболы, асимптотами которой являются координат­ные оси.

В начале координат, в точке приложения силы, согласно за­висимости (1.1), перемещения и напряжения становятся беско­нечно большими. В действительности здесь материал пластиче­ски деформируется и в расчетах внешнюю силу F можно заменить давлением ρ, действующим на площадке малого раз­мера.

Контакт двух сферических тел. К этой задаче относят кон­такт двух шаров под действием сжимающих сил, шара со сфери­ческой впадиной, шара с плоскостью.

Задача состоит в определении контактных напряжений на поверхности площадки контакта и связанных с ними напряжений в глубине тел под площадками контакта. Аналитическое решение этой задачи было впервые получено известным немецким меха­ником Г. Герцем (Н. Herz) s 1881 г.