§ 1.4. Теория винтовой пары

Зависимость между моментом, приложенным к гайке, и осевой силой винта. Если винт нагружен осевой силой F (рис. 1.13), то для завинчивания гайки к ключу необходимо приложить момент Гзав, а к стержню винта — реактивный момент Гр, который удерживает стержень от вращения. При этом можно записать
τΜΒ=ττ+τρ,    (1.3)
где ТТ — момент сил трения на опорном торце гайки; Тр — момент сил трения в резьбе. Равенство (1.3), так же как и последующие зависимости, справедливо для любых винтовых пар болтов, винтов, шпилек и винтовых механизмов.


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Не допуская существенной погрешности, принимают приведенный радиус сил трения на опорном торце гайки равным среднему радиусу этого торца или Dcp/2. При этом
TT = Ff(Dcp/2),    (1.4)
 где |Dcp = (D1+doтв)/2; D1—наружный диаметр опорного торца гайки; d0Tb— диаметр отверстия под винт; f—коэффициент трения на торце гайки.
Момент сил трения в резьбе определим, рассматривая гайку как ползун, поднимающийся по виткам резьбы, как по наклонной плоскости (рис. 1.14, а). По известной теореме механики, учитывающей силы трения, ползун находится в равновесии, если равнодействующая Fn системы внешних сил отклонена от нормали n—n на угол трения φ. В нашем случае внешними являются осевая сила F и окружная сила Ft = 2Tpld2. Здесь Tр—не реактивный, а активный момент со стороны ключа, равный Гзав— Ττ [см. формулу (1.3)].
Далее (рис. 1.14), F, = Ftg(ψ + (p) или Tр = 0,5Fd2 tg (ψ + φ),
где ψ—угол подъема резьбы [по формуле (1.1)];

cp = arctg(fnp) (1.5) — угол трения в резьбе;

fпр — приведенный коэффициент трения в резьбе, учитывающий влияние угла профиля [формула (1.2)].
Подставляя значения моментов в формулу (1.3), найдем искомую зависимость:
TMB = 0,5Fd2 [(Dcpld2)f+tg(ψ + φ) (1.6)
При отвинчивании гайки окружная сила Ft и силы трения меняют направление (рис. 1.14,6). При этом получим
Ft = F tg(ψ - φ).  (1.7)
 

Момент отвинчивания с учетом трения на торце гайки, по аналогии с формулой (1.6),
Tотв = 0,5 Fd2 [(Dcp/ d2)f+ tg (φ - ψ)].    (1.8)

Полученные зависимости позволяют отметить:
1.    По формуле (1.6) можно подсчитать отношение осевой силы винта F к силе FK, приложенной на ручке ключа, т. е. F/FK, которое дает выигрыш в силе. Для стандартных метрических резьб при стандартной длине ключа l=15d и f=0,15 F/FK = 70...80 (см. табл. 1.6).
2.    Стержень винта не только растягивается силой F, но и закручивается моментом Тр.

Самоторможение и к. п. д. винтовой пары. Условие самоторможения можно записать в виде Готв>0, где Готв определяется по формуле (1.8). Рассматривая самоторможение только в резьбе без учета трения на торце гайки, получим tg (ф — ψ) > 0 или
ψ<φ.    (1.9)
Для крепежных резьб значение угла подъема ψ лежит в пределах 2°30'...3°30', а угол трения φ изменяется в зависимости от коэффициента трения в пределах от 6° (при /»0,1) до 16° (при /»0,3). Таким образом, все крепежные резьбы — самотормозящие. Ходовые резьбы выполняют как самотормозящими, так и несамотормозящими.
Приведенные выше значения коэффициента трения, свидетельствующие о значительных запасах самоторможения, справедливы только при статических нагрузках. При переменных нагрузках и особенно при вибрациях вследствие взаимных микросмещений поверхностей трения (например, в результате радиальных упругих деформаций гайки и стержня винта) коэффициент трения существенно снижается (до 0,02 и ниже). Условие самоторможения нарушается. Происходит самоотвинчивание.
К. п. д. винтовой пары η представляет интерес главным образом для винтовых механизмов. Его можно вычислить по отношению работы, затраченной на завинчивание гайки без учета трения, к той же работе с учетом трения. Работа завинчивания равна произведению момента завинчивания на угол поворота гайки. Так как углы поворота равны и в том и в другом случае, то отношение работ равно отношению моментов Tзав/Tзав, в котором Tзав определяется по формуле (1.6), а Τзав—по той же формуле, но при f= 0 и φ = 0:
η = Tзав = tg ψ / [DСР/d)f+ tg (ψ + φ)]. (1.10)
Учитывая потери только в резьбе (Tт = 0), найдем к. п. д. собственно винтовой пары:
η = tg^/tg (ψ+ψ)•    (1.11)
В самотормозящей паре, где ψ<φ, η <0,5. Так как большинство винтовых механизмов самотормозящие, то их к. п. д. меньше 0,5.
Формула (1.11) позволяет отметить, что η возрастает с увеличением ψ и уменьшением φ.
Для увеличения угла подъема резьбы ψ в винтовых механизмах применяют многозаходные винты. В практике редко используют винты, у которых ψ больше 20...25°, так как дальнейший прирост к. п. д. незначителен, а изготовление резьбы затруднено. Кроме того, при большем значении ψ становится малым выигрыш в силе или передаточное отношение винтовой пары (см. гл. 14).
Для повышения к. п. д. винтовых механизмов используют также различные средства, понижающие трение в резьбе: антифрикционные металлы, тщательную обработку и смазку трущихся поверхностей, установку подшипников под гайку или упорный торец винта, применение шариковых винтовых пар и пр.

Распределение осевой нагрузки винта по виткам резьбы. На рис. 1.15 изображена схема винтовой пары. Осевая нагрузка винта передается через резьбу гайке и уравновешивается реакцией ее опоры. Каждый виток резьбы нагружается соответственно силами Fi9 F2, ..., Fz, где z —число витков резьбы гайки.
Сумма Fi= F

В общем случае Fi не равны между собой. Задача о распределении нагрузки по виткам статически неопределима. Для ее решения уравнения равновесия дополняют уравнениями деформаций. Впервые она была решена Η. Е. Жуковским в 1902 г. Не излагая это сравнительно сложное решение, ограничиваемся качественной оценкой причин неравномерного распределения нагрузки. В неравенством приближении полагаем, что стержень винта и гайка абсолютно жесткие, а витки резьбы податливые. Тогда после приложения нагрузки F все точки стержня винта (например, А и В) сместятся одинаково относительно соответствующих точек гайки (например, С и D). Все витки получат равные прогибы, а следовательно, и равные нагрузки (рис. 1.15, а). Во втором приближении полагаем стержень винта упругим, а гайку оставляем жесткой. Тогда относительное перемещение точек А и D будет больше относительного перемещения точек В и С на значение растяжения стержня на участке АВ. Так как нагрузка витков пропорциональна их прогибу или относительному перемещению соответствующих точек, то нагрузка первого витка больше второго и т. д.

В действительности все элементы винтовой пары податливы, только винт растягивается, а гайка сжимается. Перемещения точки D меньше перемещений точки С на значение сжатия гайки на участке CD. Сжатие гайки дополнительно увеличит разность относительных перемещений точек А й D, В и С и т. д., а следовательно, и неравномерность нагрузки витков резьбы.
Все изложенное можно записать с помощью математических символов. Обозначим Δл, Δβ, Δс, ΔD перемещения соответствующих точек. Вследствие растяжения участка А В винта Δβ<Αα, а вследствие сжатия участка CD гайки ADОтносительное перемещение точек А и Д В и С
ΔAD =Δ A — ΔD    ΔВС = ΔВ — ΔС.
Учитывая предыдущие неравенства, находим Aad>Abc. Следовательно, нагрузка первого витка больше нагрузки второго и т. д.
График распределения нагрузки по виткам, полученный на основе решения системы уравнений для стандартной шести-витковой гайки высотой H=0,8d, изображен на рис. 1.15, б. В дальнейшем решение Η. Е. Жуковского было подтверждено экспериментальными исследованиями на прозрачных моделях. График свидетельствует о значительной перегрузке нижних витков и нецелесообразности увеличения числа витков гайки, так как последние витки мало нагружены. По этому условию нецелесообразно применение мелких резьб (при высоте гайки Н=const).

График распределения нагрузки по виткам, полученный на основе решения системы уравнений для стандартной шести-витковой гайки высотой H=0,8d, изображен на рис. 1.15, б. В дальнейшем решение Η. Е. Жуковского было подтверждено экспериментальными исследованиями на прозрачных моделях. График свидетельствует о значительной перегрузке нижних витков и нецелесообразности увеличения числа витков гайки, так как последние витки мало нагружены. По этому условию нецелесообразно применение мелких резьб (при высоте гайки Н=const).
Теоретические и экспериментальные исследования позволили разработать конструкции специальных гаек, выравнивающих распределение нагрузки в резьбе (рис. 1.16). На рис. 1.16, α изображена так называемая висячая гайка. Выравнивания нагрузки в резьбе здесь достигают тем, что как винт, так и гайка растягиваются. При этом неравенство ADAc, а разность Δ ad — Δ bc уменьшится. Кроме того, в наиболее нагруженной нижней зоне висячая гайка тоньше и обладает повышенной податливостью, что также способствует выравниванию нагрузки в резьбе. На рис. 1.16,6 показана разновидность висячей гайки — гайка с кольцевой выточкой. У гайки, изображенной на рис. 1.16, в, срезаны вершины нижних витков резьбы под углом 15...20°. При этом увеличивается прогиб нижних витков винта, так как они соприкасаются с гайкой не всей поверхностью, а только своими вершинами Увеличение прогиба витков снижает нагрузку этих витков.
 
Специальные гайки особенно желательно применять для соединений, подвергающихся действию переменных нагрузок. Разрушение таких соединений носит усталостный характер и происходит в зоне наибольшей концентрации напряжений у нижнего (наиболее нагруженного) витка резьбы. Опытом установлено, что применение специальных гаек позволяет повысить динамическую прочность резьбовых соединений на 20...30%.
Решение, результаты которого приведены на рис. 1.15, б, справедливо в пределах упругих деформаций и при номинальных значениях размеров. Вследствие большой жесткости резьбы на фактическое распределение нагрузки существенно влияют технологические отклонения размеров; небольшие пластические деформации перегруженных витков, допустимые для крепежных резьб; приработка ходовых резьб. Поэтому при практических расчетах неравномерность распределения нагрузки по виткам резьбы учитывают опытным коэффициентом Кт (см. ниже).