§ 1.8. Расчет соединений, включающих группу болтов
Расчет сводится к определению расчетной нагрузки для наиболее нагруженного болта. Затем рассчитывают прочность этого болта по формулам одного из случаев, рассмотренных
в § 1.6.
В расчетах, изложенных в настоящем параграфе, приняты следующие допущения: поверхности стыка остаются плоскими (недеформируемыми) при всех фазах нагружения, что справедливо только для деталей, обладающих достаточной жесткостью ; поверхности стыка имеют минимум две оси симметрии, а болты расположены симметрично относительно этих осей; все болты соединения одинаковы и равно затянуты. С некоторым приближением перечисленные условия справедливы для большинства конструкций.
Различают три характерных случая расчета соединений, включающих группу болтов.
Равнодействующая нагрузка соединения перпендикулярна плоскости стыка и проходит через его центр тяжести. Этот случай типичен для болтовых соединений круглых
и прямоугольных крышек (см. рис. 1.23 и 1.29), нагруженных давлением жидкостей или газов. При этом болтам дают затяжку, обеспечивающую плотность соединения. Все болты такого соединения нагружены одинаково. Внешняя нагрузка, приходящаяся на один болт,
F=FΣ/z, где z—число болтов. Расчетную нагрузку болтов определяют по формулам (1.26), (1.28) или приближенно по формулам (1.36) и (1.37).
в § 1.6.
В расчетах, изложенных в настоящем параграфе, приняты следующие допущения: поверхности стыка остаются плоскими (недеформируемыми) при всех фазах нагружения, что справедливо только для деталей, обладающих достаточной жесткостью ; поверхности стыка имеют минимум две оси симметрии, а болты расположены симметрично относительно этих осей; все болты соединения одинаковы и равно затянуты. С некоторым приближением перечисленные условия справедливы для большинства конструкций.
Различают три характерных случая расчета соединений, включающих группу болтов.
Равнодействующая нагрузка соединения перпендикулярна плоскости стыка и проходит через его центр тяжести. Этот случай типичен для болтовых соединений круглых
и прямоугольных крышек (см. рис. 1.23 и 1.29), нагруженных давлением жидкостей или газов. При этом болтам дают затяжку, обеспечивающую плотность соединения. Все болты такого соединения нагружены одинаково. Внешняя нагрузка, приходящаяся на один болт,
F=FΣ/z, где z—число болтов. Расчетную нагрузку болтов определяют по формулам (1.26), (1.28) или приближенно по формулам (1.36) и (1.37).
Нагрузка соединения сдвигает детали в стыке. Примером служит крепление кронштейна (рис. 1.30). При расчете соединения силу заменяем такой же силой, приложенной в центре тяжести стыка, и моментом Т= FZL Момент и сила стремятся повернуть и сдвинуть кронштейн. Нагрузка от силы Fz распределяется по болтам равномерно:
F=FΣ/z. (1.38)
F=FΣ/z. (1.38)
Нагрузка от момента (реакции FTi, FTi, ..., FT) распределяется по болтам пропорционально их деформациям при повороте кронштейна. В свою очередь, деформации пропорциональны расстояниям болтов от центра тяжести стыка, который является ление реакций болтов перпендикулярно rz. По условию равновесия, T=Ft1r1+FT2r2+....+Ftzrz
где 11 " \ (1.39)
Ft1/ FT2=r1/r2
Для примера на рис. 1.30
T=4 Ft1r1+2FT2r2.
Суммарная нагрузка каждого болта равна геометрической сумме соответствующих сил Ff И Ft (на рис. 1.30 показана нагрузка для первого болта F1.)
За расчетную принимают наибольшую из суммарных нагрузок. Сравнивая значения и направление реакций, можно отметить, что для соединения, изображенного на рис. 1.30, наиболее нагруженными болтами являются 1-й и 3-й (реакции Ff И Ft близки по направлению) или 2-й (Ff и FT направлены одинаково, но FTi
Болты поставлены без зазора. Нагрузка воспринимается непосредственно болтами (см. рис. 1.21,6). Прочность болтов и деталей рассчитывают по напряжениям среза и смятия [формулы (1.21) и (1.22)].
Болты поставлены с зазором. Нагрузка воспринимается силами трения в стыке, для образования которых болтам дают соответствующую затяжку. Приближенно полагают, что равнодействующая сил трения, вызванных затяжкой каждого болта, приложена в центре соответствующего отверстия.
Соединение будет прочным (детали не сдвигаются), если равнодействующая сил трения под каждым болтом не меньше, чем соответствующая равнодействующая сил Fr и FT. Так как по условию задачи болты затягивают одинаково, общую затяжку определяют по наиболее нагруженному болту (1-му или 2-му; рис. 1.30 ). Необходимая затяжка болтов
F^ = KFmJf, (1.40)
где £=1,3...2—коэффициент запаса; Fmax—сила, приходящаяся на наиболее нагруженный болт, равная, например, Ft; /—коэффициент трения в стыке деталей .
Прочность болтов рассчитывают по формуле (1.19).
Оптимизация конструкции такого соединения может быть выполнена за счет: варианта постановки болтов с зазором и без зазора; соотношения размеров а и Ъ расположения болтов; количества болтов. При этом могут быть два случая: размеры кронштейна заданы или подлежат определению. Во втором случае вначале рассчитывают высоту кронштейна по напряжениям изгиба, затем рассчитывают соединение и по нему определяют все другие размеры.
В качестве второго примера расчета группы болтов при сдвигающей нагрузке рассмотрим фланцевое соединение валов. В конструкции таких соединений обычно предусматривают центрирующие выступы (рис. 1.31, а) или ставят центрирующие шайбы (рис. 1.31,6), которые одновременно разгружают соединение от поперечных нагрузок.
При болтах, поставленных без зазора, расчетная нагрузка болта
F=2T/(zD0). (1.41)
При болтах, поставленных с зазором, необходимая сила затяжки
Fjar = 2КТ/ (zD0f). (1.42)
Болты поставлены без зазора. Нагрузка воспринимается непосредственно болтами (см. рис. 1.21,6). Прочность болтов и деталей рассчитывают по напряжениям среза и смятия [формулы (1.21) и (1.22)].
Болты поставлены с зазором. Нагрузка воспринимается силами трения в стыке, для образования которых болтам дают соответствующую затяжку. Приближенно полагают, что равнодействующая сил трения, вызванных затяжкой каждого болта, приложена в центре соответствующего отверстия.
Соединение будет прочным (детали не сдвигаются), если равнодействующая сил трения под каждым болтом не меньше, чем соответствующая равнодействующая сил Fr и FT. Так как по условию задачи болты затягивают одинаково, общую затяжку определяют по наиболее нагруженному болту (1-му или 2-му; рис. 1.30 ). Необходимая затяжка болтов
F^ = KFmJf, (1.40)
где £=1,3...2—коэффициент запаса; Fmax—сила, приходящаяся на наиболее нагруженный болт, равная, например, Ft; /—коэффициент трения в стыке деталей .
Прочность болтов рассчитывают по формуле (1.19).
Оптимизация конструкции такого соединения может быть выполнена за счет: варианта постановки болтов с зазором и без зазора; соотношения размеров а и Ъ расположения болтов; количества болтов. При этом могут быть два случая: размеры кронштейна заданы или подлежат определению. Во втором случае вначале рассчитывают высоту кронштейна по напряжениям изгиба, затем рассчитывают соединение и по нему определяют все другие размеры.
В качестве второго примера расчета группы болтов при сдвигающей нагрузке рассмотрим фланцевое соединение валов. В конструкции таких соединений обычно предусматривают центрирующие выступы (рис. 1.31, а) или ставят центрирующие шайбы (рис. 1.31,6), которые одновременно разгружают соединение от поперечных нагрузок.
При болтах, поставленных без зазора, расчетная нагрузка болта
F=2T/(zD0). (1.41)
При болтах, поставленных с зазором, необходимая сила затяжки
Fjar = 2КТ/ (zD0f). (1.42)
Нагрузка соединения раскрывает стык деталей. Этот случай часто встречается в практике (крепление всевозможных кронштейнов, стоек и т. п.). Метод решения рассмотрим на примере рис. 1.32. Раскладываем силу R на составляющие Rx и R2. Действие этих составляющих заменяем действием сил Rx и R2, приложенных в центре стыка, и действием момента
M = R2l2-Rllx. (1.43)
Rx и Μ раскрывают стык, a R2 сдвигает детали. Возможность раскрытия стыка и сдвига деталей устраняют затяжкой болтов с силой FMT.
Расчет по условию нераскрытия стыка. До приложения нагрузки R затяжка образует в стыке напряжения смятия
Fзат = F3AjZ/ACJ, (1.44)
которые приближенно считаем равномерно распределенными по стыку. В формуле (1.44) ζ — число болтов, АСТ— площадь стыка.
В этой формуле R(1—χ)— доля внешней нагрузки, которая идет на разгрузку стыка [см. формулу (1.27)]. На практике в подобных соединениях значение χ мало. Упрощая решение,принимаем χ = 0, что идет в запас по условию не раскрытия стыка.
При решении задачи о том, как изменяются напряжения в стыке под действием момента Μ,необходимо выяснить,вокруг какой оси поворачивается кронштейн. Применяя принцип наименьшего сопротивления, можно полагать, что поворот происходит вокруг оси симметрии стыка, так как относительно этой оси возникает наименьший момент сопротивления повороту (меньше момент инерции площади стыка). Это условие соблюдается только при достаточно большой затяжке болтов, обеспечивающей нераскрытие стыка. При раскрытии стыка ось поворота смещается от оси симметрии к кромке стыка. Если затяжка отсутствует, то осью поворота будет кромка стыка. Следовательно,затяжка соединения проявляет себя как пайка или склейка деталей по всему стыку.До тех пор пока стык не раскрылся, кронштейн и основание можно рассматривать как единое целое. Испытания подтверждают это положение.
Рассматривая условия нераскрытия стыка, считаем осью поворота ось симметрии стыка. При этом напряжения в стыке под действием момента Μ изменяются в соответствии с эпюрой, аналогичной эпюре напряжений при изгибе. Пренебрегая значением χ, так же как при определении aR , приближенно запишем:
где WeT— момент сопротивления изгибу, который определяют для площади стыка.
В зависимости от значения затяжки и нагрузки эпюра суммарных напряжений в стыке принимает вид одного из вариантов I или II
В этих формулах за положительные приняты напряжения затяжки азат. Вариант II свидетельствует о раскрытии стыка на участке ее, так как напряжения здесь равны нулю, что недопустимо. Вариант I иллюстрирует нераскрытие стыка
и рассматривается как расчетный. По условию нераскрытия стыка,
или
Здесь £«1,3...2 — коэффициент запаса по нераскрытию стыка.
По условию (1.48) определяют σ33Τ и затем из формулы (1.44) находят F3aT.
В тех случаях, когда материал основания малопрочен по сравнению с материалом болтов, например бетон или дерево, необходимо проверять условие прочности основания по максимальным напряжениям смятия (см. табл. 1.2):
Если условие (1.49) не удовлетворяется, обычно изменяют размеры стыка.
Расчет по условию отсутствия сдвига деталей в стыке (выполняют как проверочный). В соединениях, не имеющих разгрузочного устройства от сдвига деталей, сила Л2 уравновешивается силами трения в стыке. Детали не сдвигаются, если сила трения в стыке больше R2 или
Расчет по условию отсутствия сдвига деталей в стыке (выполняют как проверочный). В соединениях, не имеющих разгрузочного устройства от сдвига деталей, сила Л2 уравновешивается силами трения в стыке. Детали не сдвигаются, если сила трения в стыке больше R2 или
где/—коэффициент трения в стыке; /Г»1,3...2 — коэффициент запаса.
Ориентировочно можно принимать: /«0,3...0,35 — сталь (чугун) по бетону, /«0,25—сталь (чугун) по дереву; /«0,15...0,20 — сталь по чугуну (по стали).
В формуле (1.50) не учитывается действие момента М, так как момент не сдвигает детали и не изменяет суммарного значения сил трения в стыке.
Если условие (1.50) не выполняется, то это значит, что условие (1.48) нераскрытия стыка не является решающим для данного соединения и затяжку следует определять по условию (1.50) несдвигаемости деталей
или ставить болты без зазора.
При больших сдвигающих нагрузках применяют также специальные разгрузочные устройства (рис. 1.33): штифты (я), втулки (б), шпонки (в), упоры (г) и т. п. В таких конструкциях болты, поставленные с зазором, воспринимают только нагрузки, раскрывающие стык деталей.
При расчете прочности болтов учитывают наибольшую силу затяжки Fm из найденных по условию (1.48) или (1.51). Внешняя нагрузка, приходящаяся на один болт от силы Ru
Fr=RI/z; (1.52)
внешняя нагрузка от момента Μ определяется из равенства
M = i(Fl2ei + F22e2 +... + Fn2en),
где i—число болтов в поперечном ряду (на рис. 1.32 / = 2); η — число поперечных рядов с одной стороны от оси попорота (на рис. 1.32 л = 2).
Силы Fi, F2 пропорциональны их расстояниям о г оси поворота: ^1/^2 = ^1/^2 и т• Д.
При расчете прочности болтов учитывают наибольшую силу затяжки Fm из найденных по условию (1.48) или (1.51). Внешняя нагрузка, приходящаяся на один болт от силы Ru
Fr=RI/z; (1.52)внешняя нагрузка от момента Μ определяется из равенства
M = i(Fl2ei + F22e2 +... + Fn2en),
где i—число болтов в поперечном ряду (на рис. 1.32 / = 2); η — число поперечных рядов с одной стороны от оси попорота (на рис. 1.32 л = 2).
Силы Fi, F2 пропорциональны их расстояниям о г оси поворота: ^1/^2 = ^1/^2 и т• Д.
Учитывая это и заменяя Ft на FM как наибольшую из нагрузок от момента, после несложных преобразований находим
Суммарная нагрузка
При известных F3aT и F расчетную формуле (1.37) и прочность болта (1.34) с учетом выражений (1.25) и нагрузку определяют по по формуле (1.32) или (1.33). Форма стыка оказывает значительное влияние на прочность соединения.
Например, для сплошного 1 и несплошного 2 стыков, изображенных на рис. 1.34, значения площадей и моментов сопротивления изгибу равны:
При одинаковой внешней нагрузке Μ σΜ во втором стыке возрастет только на ^12% по сравнению с первым стыком, а площадь уменьшится на 50%. При этом условие нераскрытия несплошного стыка можно обеспечить затяжкой болтов, уменьшенной примерно на 38% [см. формулы (1.44), (1.46) и (1.48)].
Комбинированная нагрузка соединения. Рассмотренные три случая расчета группы болтов позволяют производить расчет
прочности соединения для любых комбинаций нагрузок. При этом действие сложной нагрузки расчленяют и приводят к действию суммы составляющих рассмотренных нагрузок.
прочности соединения для любых комбинаций нагрузок. При этом действие сложной нагрузки расчленяют и приводят к действию суммы составляющих рассмотренных нагрузок.
Оптимизация конструкции соединения здесь выполняется за счет формы стыка. Стык 2 позволяет уменьшить диаметры болтов и площадь кронштейна, необходимую для их размещения. Отметим, что уменьшение площади в два раза, возможно, не является оптимальным и принято только в качестве примера. Поиск оптимальной формы можно продолжить при других комбинациях параметров. При этом кроме условия нераскрытия стыка следует учитывать и условие прочности основания формула (1.49), так как с уменьшением площади стыка увеличиваются напряжения смятия.