§ 16.5. Интенсивность изменения скоростей в поперечном направлении

Положим далее, что ширина пластины А существенно больше ее длины / и в пределе стремится к бесконечности. Это позволяет пренебречь боковым течением жидкости в зазоре и свести более сложную пространственную задачу к плоской с осями χ и у, сохраняя интересующую нас физику явления.
Основополагающим является закон Ньютона

 

 

где τ — напряжение сдвига от внутреннего трения при сдвиге слоев жидкости, μ — динамическая вязкость жидкости, Па с, ν — скорость течения, м/с.
Закон Ньютона можно рассматривать как аксиому, подобно первому и второму его законам механики. Физический смысл закона можно объяснить так. Два тонких соседних слоя имеют некоторую разность скоростей. На общей границе слоев происходит сдвиг. Сопротивление сдвигу пропорционально интенсивности изменения скоростей в поперечном направлении или производной dv/dy. Коэффициент пропорциональности μ зависит от свойств жидкости и определяется экспериментально. Используя этот закон, можно найти все другие характеристики потока жидкости.
Продифференцировав уравнение Ньютона, получим

 

 

На рис. 16.4, г изображен элементарный объем жидкости со сторонами dx, dy и dz = 1, а также действующие на него силы в плоскости ху. Из условия равновесия получаем dpwdy = dxdx или dx/dy = dpu/dx. Далее обозначаем dpn/dx=— G — градиент избыточного давления в зазоре.
После подстановки получим основное уравнение гидродинамики для установившегося двухмерного течения жидкости

 

 

Интегрируя дважды, получим  v=—Gy2/(2ц) + С1шу + С2. Постоянные интегрирования Сх и С2 найдем по граничным условиям: при у = 0 ν = υΑ, при y = h v = 0. Опуская промежуточные операции, запишем

 

 

где h — текущая толщина слоя масла в зазоре.
Объемный расход на единицу ширины пластины равен h

 

 

По условию неразрывности потока жидкости значение Q не должно зависеть от χ (во всех сечениях зазора Q постоянно). При этом из уравнения (16.4) следует, что градиент давления G должен изменяться с изменением толщины слоя h в соответствии с соотношением

 

 

Учитывая h = hl— αχ, где α — угол наклона пластины А, после интегрирования в пределах от h γ до h и граничном условии — при h = hl ри = 0 — найдем
Уравнения (16.4) и (16.5) можно упростить, имея в виду, что на выходе из пластины, где h = h2, избыточное давление ри — 0. Так как постоянный сомножитель в уравнении (16.5) не равен нулю, приравниваем нулю член в фигурных скобках при h = h2 и получаем