§ 15.9. Реакции в опорах
5. Определяем реакции в опорах и строим эпюры изгибающих и крутящих моментов (см. рис. 15.3). Рассмотрим реакции от сил Fr и Fa, действующих в вертикальной плоскости. Сумма проекций Fr = Ai + B\\ Fa — Hy. Сумма моментов ^/=/^.//2-/^/2. При этом ^=/^./2-/^/(2/) = = 1200-450-200/160 = 600 Н; Ах =Fr-Bl = 1800 Η. •
Реакция от сил Ft и FM, действующих в горизонтальной плоскости (FM прикладываем так, чтобы она увеличивала прогиб от Ft — худший случай),
А2 + B2 = Ft — FM\ B2l= /У / 2 — FM (с + /);
B2 = Ft/2 — FM(cl 1+ 1) = 3225-6350(170/160+ 1)= —9867 Η;
A2 = Ft — FM — B2 = 9967 Η.
6. По формулам (15.3) определяем запасы сопротивления усталости в опасных сечениях.
Просчитываем два предполагаемых опасных сечения (см. рис. 15.3, а): сечение I—/ под шестерней, ослабленное шпоночным пазом, и сечение II—II рядом с подшипником, ослабленное галтелью. Для первого сечения изгиба¬ющий момент
Л/ = ^/(^ ια)2 + (^2«)2 = 4/(1800' 80)2 + (9967 • 80)2 = 810 • 103 Н-мм.
Крутящий момент Г=645 103 Н-мм. Напряжение изгиба си = М/ И^ = 810 • 103/(0,1 • 653) = 29,5 МПа. Напряжение кручения τ= Г/ И^р = 645 • 103/(0,2 • 65 *)= 12 МПа. По формулам (15.7),
σ -1 = 0,4σΒ = 0,4 • 750 = 300 МПа τ _! = 0,2σΒ = 0,2 • 750 = 150 МПа τΒ = 0,6-650 = 390 МПа
По табл. 15.1, для шпоночного паза Ка& 1,7, λ^τ%1,4. По графику (см. рис. 15.5, кривая 2), Kd = 0,72. По графику (см. рис. 15.6), для шлифованного вала KF= 1. По формулам (15.4) с учетом (15.5), принимая по формуле (15.6) ψσ = 0,1, ψτ = 0,05, находим:
*σ = 300-0,72/(1,7-29,5) = 4,3; jt = 150/(1,4 • 6/0,72 + 0,05-6)« 12,7.
По формуле (15.3),
ί=4,3 12,7/^4,34 12,72 = 4>М= 1,5.
Для второго сечения изгибающий момент = 6350• 170= 1080 ΙΟ3 Η мм;
крутящий момент Г=645 • 103 Η мм;
σ„= 1080• 103/(0,1 •553) = 65 МПа; τ = 645 г103/(0,2 • 553) = 19,5 МПа.
Принимаем г галтели pap::i>iM 2 мм; r/d%0,04 и находим Ка = 2; ΑΓτ =1,6 (см. табл. 15.1):
300 0,72 130
ίσ= —= 1,66; 5τ = 7 -=5,9;
2-65 1,4-9,75/(0,72 + 0,05-9,75)
1,66-5,9
ί 1,6> [s] = 1,5.
^/1,662 + 5,92
Больше напряжено второе сечение.
7. Проверяем статическую прочность при перегрузках — формула (15.8). При перегрузках напряжения удваиваются и для второго сечения σ„=130 МПа и τ = 39 МПа; [σ] = 0,8σΤ = 0,8-450 = 360 МПа; аэк = ч/1302 + 392 = = 136< [σ] = 360 МПа.
8. Проверяем жесткость вала. По условиям работы зубчатого зацепления опасным является прогиб вала под шестерней. Для определения прогиба используем табл. 15.2. Средний диаметр на участке / (см. рис. 15.1) принимаем равным 7=π Прогиб в вертикальной плоскости: от силы Fr
yu = F/i2b2l(ЪЕЛ) = 2400 • 804/ (3 • 2,1 • 105 • 88 • 104 • 160) = 0,001 мм; от момента Ма прогиб равен нулю.
Прогиб в горизонтальной плоскости от сил Ft и FM:yT = = /yiV/(3£y/) + F*cfl(/2-α2)/(6£7/) = 6450•804/(3• 2,1 • 105 • 88 • 104 • 160) + 6350 χ χ 170-80(1602-804/(6 -2,1 • 10*-88 • 104• 160) = 3 ■ 10"3+ 9,3 • ΙΟ"3 = 0,0123 мм. Суммарный прогио
^ = ^2+^ = у/0,991 2 + 0,01232 * 0,0124 мм.
Допускаемый прогиб (см. § 15.3) \у ]*0,01т = 0,01 • 5 = 0,05>0,0124 мм. Ана¬логично проверяют углы поворота в опорах (обучающимся рекомендуется самим выполнить эту проверку).
Таким образом, условия прочности и жесткости выполняются. По этим условиям диаметр вала можно сохранить. Однако этот вопрос нельзя окончательно решить без расчета подшипников (см. пример 16.2).
Реакция от сил Ft и FM, действующих в горизонтальной плоскости (FM прикладываем так, чтобы она увеличивала прогиб от Ft — худший случай),
А2 + B2 = Ft — FM\ B2l= /У / 2 — FM (с + /);
B2 = Ft/2 — FM(cl 1+ 1) = 3225-6350(170/160+ 1)= —9867 Η;
A2 = Ft — FM — B2 = 9967 Η.
6. По формулам (15.3) определяем запасы сопротивления усталости в опасных сечениях.
Просчитываем два предполагаемых опасных сечения (см. рис. 15.3, а): сечение I—/ под шестерней, ослабленное шпоночным пазом, и сечение II—II рядом с подшипником, ослабленное галтелью. Для первого сечения изгиба¬ющий момент
Л/ = ^/(^ ια)2 + (^2«)2 = 4/(1800' 80)2 + (9967 • 80)2 = 810 • 103 Н-мм.
Крутящий момент Г=645 103 Н-мм. Напряжение изгиба си = М/ И^ = 810 • 103/(0,1 • 653) = 29,5 МПа. Напряжение кручения τ= Г/ И^р = 645 • 103/(0,2 • 65 *)= 12 МПа. По формулам (15.7),
σ -1 = 0,4σΒ = 0,4 • 750 = 300 МПа τ _! = 0,2σΒ = 0,2 • 750 = 150 МПа τΒ = 0,6-650 = 390 МПа
По табл. 15.1, для шпоночного паза Ка& 1,7, λ^τ%1,4. По графику (см. рис. 15.5, кривая 2), Kd = 0,72. По графику (см. рис. 15.6), для шлифованного вала KF= 1. По формулам (15.4) с учетом (15.5), принимая по формуле (15.6) ψσ = 0,1, ψτ = 0,05, находим:
*σ = 300-0,72/(1,7-29,5) = 4,3; jt = 150/(1,4 • 6/0,72 + 0,05-6)« 12,7.
По формуле (15.3),
ί=4,3 12,7/^4,34 12,72 = 4>М= 1,5.
Для второго сечения изгибающий момент = 6350• 170= 1080 ΙΟ3 Η мм;
крутящий момент Г=645 • 103 Η мм;
σ„= 1080• 103/(0,1 •553) = 65 МПа; τ = 645 г103/(0,2 • 553) = 19,5 МПа.
Принимаем г галтели pap::i>iM 2 мм; r/d%0,04 и находим Ка = 2; ΑΓτ =1,6 (см. табл. 15.1):
300 0,72 130
ίσ= —= 1,66; 5τ = 7 -=5,9;
2-65 1,4-9,75/(0,72 + 0,05-9,75)
1,66-5,9
ί 1,6> [s] = 1,5.
^/1,662 + 5,92
Больше напряжено второе сечение.
7. Проверяем статическую прочность при перегрузках — формула (15.8). При перегрузках напряжения удваиваются и для второго сечения σ„=130 МПа и τ = 39 МПа; [σ] = 0,8σΤ = 0,8-450 = 360 МПа; аэк = ч/1302 + 392 = = 136< [σ] = 360 МПа.
8. Проверяем жесткость вала. По условиям работы зубчатого зацепления опасным является прогиб вала под шестерней. Для определения прогиба используем табл. 15.2. Средний диаметр на участке / (см. рис. 15.1) принимаем равным 7=π Прогиб в вертикальной плоскости: от силы Fr
yu = F/i2b2l(ЪЕЛ) = 2400 • 804/ (3 • 2,1 • 105 • 88 • 104 • 160) = 0,001 мм; от момента Ма прогиб равен нулю.
Прогиб в горизонтальной плоскости от сил Ft и FM:yT = = /yiV/(3£y/) + F*cfl(/2-α2)/(6£7/) = 6450•804/(3• 2,1 • 105 • 88 • 104 • 160) + 6350 χ χ 170-80(1602-804/(6 -2,1 • 10*-88 • 104• 160) = 3 ■ 10"3+ 9,3 • ΙΟ"3 = 0,0123 мм. Суммарный прогио
^ = ^2+^ = у/0,991 2 + 0,01232 * 0,0124 мм.
Допускаемый прогиб (см. § 15.3) \у ]*0,01т = 0,01 • 5 = 0,05>0,0124 мм. Ана¬логично проверяют углы поворота в опорах (обучающимся рекомендуется самим выполнить эту проверку).
Таким образом, условия прочности и жесткости выполняются. По этим условиям диаметр вала можно сохранить. Однако этот вопрос нельзя окончательно решить без расчета подшипников (см. пример 16.2).