Расчет деталей машин с учетом рассеяния значений параметров
Несколько лучше, чем нормальное, описывают результаты усталостных испытаний логарифмически-нормальное распределение, в котором по нормальному закону распределяется логарифм наработки, и распределение Вейбулла, которое может рассматриваться как обобщение экспоненциального распределения. Однако оперирование этими распределениями сложнее.
Расчет деталей машин с учетом рассеяния значений параметров
Ряд параметров, входящих в формулы расчета деталей машин, имеют существенное рассеяние и должны рассматриваться как случайные величины. Соответственно расчеты следует производить в вероятностном плане. Это особенно относится к расчетам на долговечность и к расчетам, в которые в качестве основных параметров входят натяги и зазоры, например к расчетам соединений с натягом и подшипников. Натяги и зазоры получаются как разность близких величин и имеют, так же как и ресурсы, особенно большое относительное рассеяние.
Для вероятностных расчетов необходимо определение рассеяния функции по рассеянию случайных аргументов, т. е. рассеяние основного рассчитываемого параметра по рассеянию расчетных характеристик и других исходных параметров.
Представим выражение для расчетного параметра (напряжения, ресурса, температуры) в общем виде:
где Χι, Хг, ..., Хп — параметры, рассматриваемые как случайные независимые величины, имеющие математические ожидания mi, m2, .·., m„ и средние квадрати- ческие отклонения Si, S2, ■■·, S„.
Предполагаем, что функция в пределах рассеяния параметров может быть линеаризована. Тогда, разложив функцию в ряд Тейлора и отбросив малые члены, получаем
где первый член представляет собой математическое ожидание, обозначаемое Υ (или М); X, — mi — случайное Отклонение параметра X; от своего математического ожидания, производная функция φ по параметру Χι, в которую подставлены математические ожидания параметров. Она характеризует долю влияния отклонения случайной величины Χι, а члены под знаком Σ являются случайными отклонениями линеаризованной функции.
Соответственно среднее квадратическое отклонение функции по квадрати- ческому правилу сложения
Если Κ=φ(ΑΓΙ), т. е. Х2 = ХЪ...= — Х„ = 0, то формула разложения в ряд Тейлора следует из геометрических соображений, так как производная представляет собой тангенс угла наклона касательной к кривой.