Распределение давлений на поверхности площадки контакта

Выделим элемен- ι.ιριινιο площадку Sdsdiρ, на которой будет действовать перемен- II'"· .чашгепие р. Перемещение точки С определим суммированием и· (и мацений от элементарных сосредоточенных сил ^Spdsdy,      .κ ιui уравнению (1.!), в котором г заменено на S:

где К, = 0-ν₁²)/(π£_])- Κ₂=(\-νΙ)/(πΕ₂).

Учитывая полученную зависимость, уравнение (1.3) преоб­разуется к виду

В уравнении (1.5) не известны ρ и δ . Для решения этого урав­нения одной из величин следует задаться, например, законом рас­пределения давления р, который должен удовлетворять граничным условиям: на краю площадки контакта (г = а) давление ρ = 0 .

Предположим, что давление p_t в i-й точке площадки контак­та пропорционально соответствующей ординате г, полусферы, описанной радиусом, равным радиусу а площадки контакта, т. е.

К— коэффициент пропорциональности, Η/мм³ ; р₀ — давление в центре О площадки контакта, н/мм² (см. рис. 1.4); ζ, — в мм.

Рассмотрим Jpds уравнения (1.5) по хорде тп круга (рис. 1.4). Суммарное давление пропорционально площади части круга

где Ps/a — коэффициент пропорциональности по зависимости (1.6); А — площадь полукруга (см. рис. 1.4). Она равна

Проинтегрировав это уравнение от φ = 0 до φ = л/2 и ум­ножив на 2,получим

Уравнение (1.8) справедливо при любой величине г (от нуля чо а) и удовлетворяет граничным условиям. Следовательно, предположение о законе распределения давления является спра- иедливым,

11ри значениях г ~ 0; ρ = р₀ и при г = α; р = 0 из зависи­мое ги (1.8) определим сближение δ шаров и величину радиуса а || и пиалки контакта

Величина наибольшего давления р_а зависит от внешней си­лы F и находится ю условия равновесия шара. Приравняем внеш­нюю силу F сумме давлений на площадке контакта, которая про­порциональна половине объема шара радиусом а

Обозначив максимальное напряжение в центре площадки контакта р₀=а_И, как принято в литературе в честь автора (Hertz), из уравнения (1.11) окончательно получим