Сжатие двух тел со сферическими поверхностями
При достижении величины нагрузки, равной силе F, в контакт вступят крайние точки β, и В2 ■ Примем, что площадка контакта плоская и ограничена радиусом α, точка О — начало координат остается на месте. Тогда центры сфер Ot, 02 сместятся (сблизятся) на величину б,, δ2 (рис. 1.2, а, б).
В качестве допущений в расчетной модели примем, что материал изотропный упругий и подчиняется закону Тука, поверхности сухие и абсолютно гладкие, т. е. шероховатость равна нулю, размеры площадки контакта малы по сравнению с радиусами кривизны в зоне контакта тел. Ввиду малости размеров площадок контакта учитываются перемещения точек С, и С2 только по оси Ζ, так как перемещения точек по оси ^бесконечно малы.
|
Рис. 1.2. Сжатие двух тел со сферическими поверхностями |
I
сометрическая модель. Расстояние между точками С) и С2 "" оси /
выражается через стрелки (высоты) сегментов zt и z2,
которые, как известно из геометрии, имеют связь с хордой (2г) для сфер радиусами р| и р2
Пренебрегая бесконечно малыми величинами ζ, по сравнению с 2ζ,ρ! и ζ\ с 2z2p2, получаем
где ρ — приведенный радиус кривизны. Сумма кривизн определяется уравнением
Здесь знак «-» для касания шара со сферической впадиной (рис. 1.3).
|
|
|
к"' |
|
Рис. 1.3. Сжатие шара с телом со сферической впадиной |
При
касании шара с плоскостью выражение (1.2)
упрощается
Уравнение совместности деформаций. При сжатии двух тел любые две точки, находящиеся на оси Ζ на достаточно большом расстоянии от площадки контакта, за счет кинематического перемещения контактируе- мых. тел сблизятся на величину
δ = δ, + δ2.
Расстояние между точками С\ и С2 (zj +¾) с учетом местным деформаций тел Щ и W2 [см. формулу (1.1)] определится по шнисимости
'Заменив z] + z2 = г2/(2р), найдем перемещения от местной деформации вблизи площадки контакта из предыдущей зависимости
уравнение совместности деформаций.
Перемещения Wl и W2 в зависимости от местной деформации п.годятся в следующем порядке. На поверхность касания в виде радиуса действует распределенная нагрузка ρ в виде полу- ■ фгры (рис. 1.4). При сближении тел в некоторый момент времени |'>чмг ('[ и С2 попадут на поверхность касания в точке С (рис. 1.4). 11рмясдсм через эту точку произвольную плоскость тп под утлом φ ι п. и ОХ и нормальную — к площадке контакта.